LIMIT FUNGSI



PENGERTIAN LIMIT

• Limit fungsi f(x) untuk x mendekati a ditulis .Nilai limit fungsi tersebut adalah  harga yang didekati fungsi jika variabel fungsi tersebut mendekati bilangan a. Proses mendekati ini bisa dari kiri (disebut limit kiri ditulis ) dan bisa dari kanan (disebut limit kanan ditulis ).
• Fungsi dikatakan mempunyai limit jika nilai limit kiri dan limit kanannya sama.
• Untuk fungsi tunggal limit kiri dan kanan selalu sama sehingga tidak perlu kita cari limit kiri dan kanannya, tetapi untuk fungsi majemuk harus diperiksa limit kiri dan limit kananya.

1. LIMIT FUNGSI UNTUK X MENDEKATI a                

    

v     Jika  maka f(x) harus disederhanakan / diubah dengan cara :

Ø      difaktorkan (untuk derajat 3 atau lebih pakai “porogapit”)

Ø      jika ada akar dikali sekawan bentuk akarnya kemudian difaktorkan.

2. limit f(x) untuk x mendekati

    

Ø      Jika  f(x) diubah dahulu dengan cara dibagi x pangkat yang terbesar.

Ø      Jika  f(x) dikali sekawan dahulu baru dibagi dengan x pangkat yang terbesar.

3. LIMIT BENTUK KHUSUS

     atau  

4. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

               

                

v     Jika ada bentuk cosinus dan hasilnya 0/0 maka bentuk tersebut diubah dengan menggunakan rumus cos 2x = 1 – 2 sin²x .

v     Bentuk sin dan tan diatas dapat diperluas lagi menjadi :

       

5. TEOREMA LIMIT

1. Limit suatu fungsi konstanta nilainya sama dengan konstanta itu.
2. Limit suatu fungsi identitas sama dengan nilai pendekatan peubahnya
3. Limit jumlah beberapa fungsi sama dengan jumlah masing-masing limit fungsi. Limit selisih beberapa fungsi sama dengan selisih masing-masing limit fungsi.
4. Limit hasil kali konstanta dengan suatu fungsi sama dengan hasil kali konstanta dengan limit fungsi itu.
5. Limit hasil kali beberapa fungsi sama dengan hasil kali masing-masing limit fungsi.
6. Limit hasil bagi beberapa fungsi sama dengan hasil bagi masing-masing limitnya dengan catatan limit penyebut tak boleh sama dengan nol.
7. Limit fungsi pangkat n sama dengan pangkat n dari limit fungsi itu.
8. Limit akar pangkat n dari suatu fungsi sama dengan akar pangkat n dari limit fungsi itu.

6. DERET GEOMETRI TAK-BERHINGGA

   Jumlah n suku pertama deret geometri adalah :

   S_n = a + ar + ar² + ar³ + ... + ar^n-1

   S_n =

   Jika banyaknya suku bertambah terus sampai mendekati tak terhingga maka jumlahnya akan menjadi

      (untuk |r|<1)

Sehingga jumlah tak hingga deret geometri biasa dirumuskan :

7. KONTINUITAS DAN DISKONTINUITAS FUNGSI

• Fungsi dikatakan kontinu di setiap titik jika grafik fungsi tersebut berkesinambungan / tidak terputus. Jika   grafik fungsi terputus di x = a maka fungsi tersebut dikatakan diskontinu di x = a. Untuk menunjukkan suatu fungsi f(x) kontinu di x=a kita cukup menunjukkan bahwa :
1. f(a) ada
2.  ada
3. 
• Jika salah satu saja syarat diatas tidak dipenuhi maka f(x) dikatakan diskontinu di x = a.
• Untuk mengecek apakah suatu fungsi kontinu disetiap titik atau tidak kita tidak perlu mengecek semua titik yang ada, cukup kita cek titik “kritis” saja (pembuat nol penyebut, perpindahan penggunaan fungsi)

Fungsi Komposisi dan Invers

Fungsi Komposisi dan Invers : Pengertian Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi dan invers – Jika terdapat dua buah  fungsi misalkan f  (x) dan g  (x) maka dapat dibentuk fungsi baru dengan menggunakan prinsip operasi komposisi. Operasi komposisi ditulis dengan notasi atau lambang  ○ ( dibaca : komposisi atau bundaran). Fungsi baru yang diperoleh dibentuk dari operasi komposisi fungsi, yaitu:

(i) ( f ○ g ) ( x ), dibaca : f komposisi g x atau f g x

(ii) ( g ○ f ) ( x ), dibaca : g komposisi f x atau g f x.

Perhatikan gambar dibawah ini:

Diagram panah fungsi komposisi dan invers

Dari gambar diatas fungsi g : A ⟶ B. Tiap x ℰ A dipetakan ke y ℰ B, sehingga g : x ⟶ y ditentukan dengan rumus:   y = g ( x ) .

Fungsi f : B ⟶ C. Tiap y ℰ B dipetakan ke z ℰ C, sehingga f : y ⟶ z

ditulis dengan rumus z = f ( y ) .

Fungsi h : A ⟶ C. Tiap x ℰ A dipetakan ke z ℰ C, sehingga h : x ⟶ z

ditulis dengan rumus z = h ( x ).

Fungsi h adalah pemetaan langsung dari himpunan A ke himpunan C. Fungsi h seperti ini disebut komposisi dari fungsi f dan fungsi g , ditulis dengan notasi :  h = f ○ g atau

h ( x ) = ( f ○ g ) ( x ).                                                              © fungsi komposisi dan invers©

Dari uraian fungsi komposisi dan invers diatas , rumus fungsi komposisi f dan g adalah:

Dan rumus fungsi komposisi g dan f adalah:

Agar lebih memahami dan terampil menggunakan rumus fungsi komposisi serta fungsi komposisi dan invers, perhatikan contoh-contoh dibawah ini:

Contoh 1 :

Diketahui f ( x ) = 4 x – 1 dan g ( x ) = x² + 2. Tentukanlah :

(a) ( f ○ g ) ( x )

(b) ( g ○ f ) ( x )

(c) ( f ○ g ) ( -2 )

[Penyelesaian]

(a) ( f ○ g ) ( x ) = f ( g(x) ) = f ( x² + 2 ) = 4 ( x² + 2 ) – 1 =  4 x² + 7

(b) ( g ○ f ) ( x ) = g ( f(x) ) = g (4 x – 1 ) =  ( 4x – 1 )² + 2 = 16x² – 8 x + 3

(c)  ( f ○ g ) ( -2 ) =  4 (-2)² + 7 = 23.

Fungsi komposisi dan invers ,Contoh 2 :

Tentukanlah ( f ○ g  ○ h ) ( x ) jika diketahui f ( x ) = 3 x – 2 , g ( x ) = 4 – x  dan

[Penyelesaian]

Bentuk ( f ○ g  ○ h ) ( x ) = ( f ○ g ) ○ h, karena ada tiga fungsi yaitu f , g dan h maka kita tentukan terlebih dahulu ( f ○ g ),

                    

Barulah tentukan ( f ○ g ) ○ h, yaitu,

Jadi, ( f ○ g  ○ h ) ( x ) = x + 6.                             © fungsi komposisi dan invers

Fungsi komposisi dan invers - Syarat fungsi komposisi

Berkenaan dengan fungsi komposisi dan invers , tidak semua fungsi dapat di komposisikan ada syarat-syarat tertentu yang harus dipenuhi oleh dua fungsi yang akan dikomposisikan. Perhatikan syarat-syarat fungsi komposisi dibawah ini.

(1) Syarat agar fungsi f dan fungsi g dapat di komposisikan menjadi fungsi komposisi

( f ○ g ) adalah irisan antara domain fungsi f dengan range fungsi g bukan himpunan kosong atau

(2) Domain ( f ○ g ) merupakan himpunan bagian dari domain fungsi g, atau

(3) Range fungsi komposisi ( f ○ g ) merupakan himpunan bagian dari range fungsi f, atauR

Ketiga syarat diatas haruslah benar-benar diperhatikan untuk memahami fungsi komposisi dan invers lebih lanjut.

Contoh 3 :

Diketahui f ( x ) = 2 x – 1 dan g ( x ) = x²  - 1, tentukanlah nilai  a  agar ( g○f○f ) (a) =  - 1

[Penyelesaian]

Tentukan terlebih dahulu ( g○f )(x) ,

Fungsi komposisi dan Invers : Menentukan fungsi jika komposisi dan fungsi yang lain sudah diketahui

Jika fungsi komposisi ( f ○ g ) atau ( g ○ f ) sudah terlebih dahulu diketahui maka fungsi f dan fungsi g dapat ditentukan. Coba perhatikan beberapa contoh soal fungsi komposisi dan invers dibawah ini :

Contoh 4 :

Diketahui ( f ○ g )(x) = x , tentukan nilai g (x) jika,

[Penyelesaian]

fungsi komposisi dan invers,

Contoh 5  :

Diketahui g ( x ) = 4x² – 2, tentukan nilai f ( 2x + 1 )  jika ( g ○ f ) (x) = 16x² + 16x + 2

[Penyelesaian]

↔ ( g ○ f ) (x) = 16x² + 16x + 2

↔ g (f(x)) = 16x² + 16x + 2

↔ 4 f²(x) – 2 = 16x² + 16x + 2

↔  f²(x) = 4x² + 4x + 1 = ( 2x + 1 )²

↔ f (x) = 2x + 1

Jadi, f ( 2x + 1 ) = 2 (2x+1) +1 = 4x +3

Soal-soal tentang fungsi komposisi dan invers banyak sekali ragam dan variasinya, tetapi bagaimanapun bentuk variasi soal tersebut dengan tetap berpegang pada prinsip-prinsip dasarnya tentu saja akan menjadi lebih mudah.

Fungsi Komposisi dan Invers -- Sifat sifat fungsi komposisi

Beberapa sifat fungsi komposisi yang penting, yaitu :

(1) ( f ○ g )(x) ≠ ( g ○ f )(x), operasi komposisi pada fungsi tidak berlaku sifat komutatif

(2) ( f ○ (g○h )(x) = ( (f ○ g)○h )(x), operasi komposisi berlaku sifat asosiatif

(3) ( f ○ I )(x) = ( I ○ f )(x) = f ( x ), I (x) adalah unsur identitas.

fashion hijab simple

                        
                     
       

tas sekolah 2013